Book Review: La Conjetura de Poincaré

Excelente libro para aquellos que, estando interesados en la materia, no cuentan con conocimientos técnicos. Para aquellos otros con cierta experiencia, el enfoque seguido puede llegar a ser revelador, por la forma en la que se presentan los conceptos matemáticos. Este ha sido mi caso.

Escrito con un lenguaje claro, con numerosas referencias históricas y repleto de excelentes referencias, resulta un texto fundamental para comprender no solo el proceso que llevo a la demostración de la Conjetura de Poincaré, si no también el enorme impacto que la Topología ha supuesto en la matemática en general y en la comprensión del universo en particular.

En relación a esto, no deja de ser curioso, que si bien la Topología impregna prácticamente toda la matemática actual, la demostración de la Conjetura se lograse desde la rama del análisis. Para una presentación asequible pero técnica de los trabajos de demostración, recomiendo la lectura de Ricci Flow and the Poincaré Conjeture, de J.W Morgan y G. Tian. Yo por mi parte, presentaré aquí una descripción resumen de la misma.

La Conjetura, enunciada en palabras del propio Henry Poincaré, la que constituye uno de los Problemas del Milenio, se resume como sigue:

¿Es posible que el grupo fundamental de una variedad cerrada pueda ser la identidad, pero que la variedad no se homeomórfica de la esfera tridimensional?

Fue incluida en el quinto complemente del Analisis Situ.

Intentemos a continuación explicar su significado: El grupo fundamental es un objeto algebráico asociado a cada variedad e invariante bajo homeomorfismos. Los elementos de dicho grupo son trayectorias cerradas que parten de un punto y que termina en él. Definiendo operaciones algebráicas aplicadas a dichas trayectorias es posible dotarlas de estructura de grupo.

Poincaré realizó el análisis de las variedades tridimensionales haciendo uso de sus grupos fundamentales con el objeto, entro otros, de conocer la forma del universo. En particular Poincaré demostró que si conociéramos los números de Betti del universo, no sabríamos la forma que tiene, ni siquiera conociendo los coeficientes de torsión. No son suficientes.

En particular mostró, introduciendo lo que se conoce como espacio dodecahédrico, una variedad con los mismos números de Betti y coeficientes de torsión de la esfera, pero que contiene un par de trayectorias no reducibles a un punto y por lo tanto, dicha variedad no es homeomórfica a la esfera. Es decir, la conjetura no puede ser establecida únicamente en término homotópicos.

Este podría considerarse el comienzo de la búsqueda de una demostración. Llevo 100 años. Veamos cual fue el desarrollo:

Aunque inicialmente el espacio dodecahédrico era el único conocido en su categoría, Dehn descubrió un método para generar más variedades de este tipo, conocidas como esferas homológicas, y conectándolas con las geometrías no euclídeas (curvatura != 0). Algo después, J. W. Alexander demostró que había variedades tridimensionales, denominados espacios Lenticulares L(5,2) y L(5,1), que a pesar de tener el mismo grupo fundamental y los mismos grupos de homología, no eran homeomórficos. Este resultado es interesante, ya que la Conjetura de Poincaré busca este mismo resultado en el caso de un grupo fundamental igual a la unidad.

Una nueva aproximación que podría considerarse el inicio del camino que conduciría finalmente a la demostración surgiría en la década de los 50 y fue gracias al trabajo de John Milnor. Milnor identificó las denominadas esferas exóticas: diferentes estructuras diferenciables en la esfera de siete dimensiones. Como parte de su trabajo, ideó una sencilla fórmula para identificar una esfera: una variedad compacta que tiene derivadas en todas partes y solo dos puntos críticos, es decir un punto donde todas sus derivadas se anulan.

Partiendo de estas ideas, Smale demostró la conjetura de Poincaré para dimensiones mayores de cuatro: en particular Smale demostró que para dimensiones mayores de cuatro una variedad n-dimensional simplemente conectada sin frontera y finita es una esfera n-dimensional. Este resultado se adelanto al resultado completo por la facilidad existente en dimensiones superiores de aproximar funciones de comportamiento anómalo por otras "mejores".

Siguiendo un procedimiento exclusivo y no relacionado con el anterior, Michael Freedman demostraría posteriormente la Conjetura para 4 dimensiones. Así pues en los años 80 solo quedaba por demostrar la Conjetura para el caso de 3 dimensiones. Veamos como ocurrió, porque no deja de ser un procedimiento bastante diferentes.

Thurston definió en tres dimensiones el término de geometría tratable y demostró que existen ocho y solo ocho geometrías diferentes: además de la plana, la esférica y hiperbólica, había 5 geometrías de tipo híbrido. Además conjeturó, demostrándolo para un caso amplio de variedades que cualquier variedad podía despiezarse cortándose a lo largo de esferas y toros bidimensionales de manera única tal que cada pieza tenia una de las ocho geometrías identificadas. Esto se llamó la conjetura de geometrización. Esta conjetura implica entre otras muchas cosas la Conjetura de Poincaré y sería la que demostraría Perelman en su momento, estableciendo como corolario la Conjetura de Poincaré. Esta conexión no aparece explicada en el texto y no he encontrado el porqué.

[Off Topic]
Como dato sorprendente: una mayoría de las variedades tienen geometría hiperbólica (curvatura negativa). El exterior de la mayoría de nudos den la esfera de tres dimensiones posee una métrica que lo convierte en una variedad hiperbólica. Y aunque el nudo esté infinitamente lejos, el volumen exterior resulta ser finito y proporciona un número asociado y conectado extrañamente con la teoría de números.

Y ya nos vamos acercando a la demostración final. A principios de los 80, Richard Hamilton  propuso analizar la evolución o deformación de una métrica sobre una variedad de Riemann (curvatura > 0) de forma similar a como se analiza la difusión del calor en el metal. Para ello introdujo una ecuación conocida como Flujo de Ricci. Se trata de una ecuación tensorial en derivadas parciales: los puntos fijos, salvo reescalado (esto será importante), de la ecuación son métricas de Riemman de Curvatura de Ricci constante. Por lo demás, la ecuación estable una tasa de cambio de tal forma que la métrica evoluciona más deprisa allí donde la curvatura es mayor.

Hamilton propuso analizar la evolución de la variedad según el flujo de Ricci con vistas a demostrar la conjetura de geometrización. Utilizando esta formalización, el flujo de Ricci es una familia parametrizada (t, considerado a veces el tiempo) de métricas de Riemann. Y en estos términos la demostración de la Conjetura consistiría, comenzando con una métrica de Riemann en una variedad tridimensional y haciéndola evolucionar según el flujo de Ricci obtener la métrica de curvatura constante (una esfera) que se busca.

Existen dos ejemplos en los que esto es así:

• Si la métrica tiene curvatura de Ricci positiva, Hamilton probó que haciéndola evolucionar con el flujo de Ricci, la variedad se reduce a un punto en tiempo t finito. Es decir, hay una singularidad finita y según nos aproximamos a ella, el diámetro de la variedad tiende a cero, disparándose la  la curvatura en cada punto. Hamilton demostró que en este caso re-escalando mediante una función dependiente del tiempo de tal forma que el diámetro es constante, el flujo produce una familia paramétrizada de métricas de Riemann que convergen a una métrica de curvatura constante.  
• Si el flujo de Ricci existe para todo valor del tiempo, y hay una cota de la curvatura junto con otra cota de la métrica, entonces cuando el tiempo tiende a infinito, y después de re-escalar para tener un diámetro fijo, la métrica converge a una métrica constante negativa.

A parte de estos dos casos, el resultado general es mucho más complicado. Las singuralidades presentes parecían insalvables. Y esto es lo que resolvería Perelman en sus tres artículos sobre el tema [1][2][3].  Introduciendo una expresión del flujo de Ricci que interpretaría en términos de entropía, demostró finalmente que el flujo de Ricci evolucionaba adecuadamente, a salvo de singularidades.

En fin, aquellos interesados en un conocimiento más profundo, les recomiendo ir a las fuentes, que resultan sorprendentemente fáciles de leer. Yo estoy en ello.

Increíble lectura. Muy recomendable.