Elliptic Tales: Curves, Counting and Number Theory


Referencia perteneciente a una excelente serie divulgativa de Princenton, idónea para aquellos que persiguen el siguiente nivel de comprensión en teoría de números y curvas elípticas.

El texto si bien continúa narrativo, aborda temas de considerable profundidad técnica o como expresa A. N. Whitehead en palabras recogidas en la primera página:

"the ideas, now in the minds of contemporary mathematicians, lie very remote from any notions which can be inmediately derived by perception through the sense."

Así, con el fin último de presentar la Conjetura Birch and Swinnerton-Dyer, se estudian las ecuaciones elípticas describiendo los métodos utilizados, consituyendo de hecho, una excelente introducción a técnicas como los cierres algebraicos de campos, geometría proyectivaaritmética congruencialteoría de grupos o teoría de funciones analíticas.

Las ecuaciones elípticas,  inicialmente identificadas en el siglo XVIII al calcular la longitud del arco de una elipse, son polinomios de grado 3, es decir, el máximo exponente es 3 y que además cuentan con tres raíces distintas.

Sobre esta categoría especial de funciones cúbicas, la conjetura de BSD establece que el número de soluciones racionales, o rango algebraico, de una curva elíptica es el mismo que el número de soluciones sobre una estructura de campo finito, o rango analítico. O dicho de otra forma, podemos encontrar todas las soluciones racionales de una ecuación elíptica, partiendo de un conjunto finito de soluciones.

En la primera parte del texto se realiza un desarrollo constructivo que persigue presentar la conjetura BSD en un contexto muy concreto, igualando el número de intersecciones de una recta cualquiera con el grado de la curva surgiendo ampliando al cierre algebraico el campo de definición de la curva, ampliando el espacio afín con los puntos en el infinito, para crear el espacio proyectivo y finalmente identificando las singularidades que producen raíces múltiples.

Una vez presentadas las bases matemáticas, en la segunda parte del libro se abordan el análisis de las ecuaciones elípticas, separando aquellas que no cuentan con puntos singulares, i.e. ecuaciones elípticas no singulares, de las que presentan algunas singularidades, i.e. ecuaciones elípticas singulares. La última parte de esta sección corresponde a las ecuaciones elípticas sobre el campo de los números racionales. Además, interesante en mi caso, también se incluyen muy resumidamente los algoritmos que permiten el computo automático de las raíces de las ecuaciones.

Y es en esta sección donde, súbitamente, el autor suelta las riendas y todas las precauciones que hasta este momento tenía, con el objeto de hacer más comprensible los desarrollos. Y lo cierto es que el resultado es interesante: por un lado, sin duda, el nivel técnico requerido es significativo. Esto se resuelve siguiendo la recomendación estándar de releer cuantas veces sea necesario las partes más difíciles.

Pero además, el autor comienza a hacer ciertas conexiones mas o menos implícitas y a extrapolar razonamientos y conexiones. Y es aquí donde, por primera vez en mi caso, comienzo a entender la forma de proceder de la mente matemática y la creatividad que dirige sus reflexiones.

La última parte del libro, denominada Curvas Elípticas y Análisis, aborda un nuevo enfoque, necesario para completar la descripción de la conjetura y ciertamente interesante: la modelización de secuencias de números mediante la definición de funciones, en particular Series de Dirichlet. Por cierto, como caso particular, se presenta la función Z de Riemann y algunas de sus propiedades.

El descubrimiento de estos aspectos me resulta extraordinario, produciendo cierto stress post traumático, tipo Síndrome de Stendhal. Por lo demás, el libro cuenta con una excelente colección de referencias bibliográficas, por lo que considero que resulta imprescindible para aquellos estudiantes de grado, camino de desarrollar una carrera en el campo de las matemáticas.

Finalmente, existen tres referencias especialmente recomendables para ampliar/extender los conocimientos presentados en el texto:


Imprescindible.





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